5.5 Optimización de funciones económico - administrativas: maximización de funciones de ingreso, utilidad y beneficios: minimización de funciones de costos y de costos promedio.

Solucionar un problema de optimización

Para solucionar cualquier problema del tipo arriba, sigue los pasos a continuación (ya hicimos los primero cuarto en el primer ejemplo):

Por lo general		Ejemplo arriba
1. Identifica las incógnitas.
Estos son usualmente las cantidades que se preguntan en el problema.		x  e y
2. Identifica la función objetivo.
Esta es la cantidad que se pide maximizar o minimizar.		A = xy
3. Identifica la rectricciones.
Estas pueden ser ecuaciones que relacionen las variables o desigualdades que expresen limitaciones para los valores de las variables.		5x + 3y = 60 x ≥ 0, y ≥ 0
4. Enuncia el problema de optimización.
Esto será de la forma "Maximizar (or minimizar) la función objetivo sujeto a la o las restricciones."		Maximizar A = xy  sujeto a 5x + 3y = 60 x ≥ 0, y ≥ 0
5. Elmina variables adicionales
Si la función objetivo depende de varias variables: Soluciona las ecuaciones de restricción para expresar todas las variables en términos de una variable particular. Sustituya estas expresiones en la función objetivo para expresarla como una función de una sola variable. También sustituya estas expresiones en las restricciones de desigualdad para determinar el dominio de la función objetivo.		Función objetivo A = xy  depende de x  e y. a. Soluciona la ecuación de restricción para x. x =       b. Sustituya esta expresión para x  en la función objetivo. A =       b. También sustituya esta expresión en la restricción de desigualdad x ≥ 0.      Usa  >=  para ≥ y  <=  para ≤. Por lo tanto, el dominio de  A  como una función de  y  es  ≤  y    ≤
6. Vuelve a enunciar el problema de optimización en términos de una sola variable sin ecucaciones de restricción.
Usa los resultados de las partes (a) y (c) de 5. arriba.		Maximizar  A =       sujeto a  ≤ y    ≤
7. Soluciona el problema de optimización ontenido en Paso 6.
UIsa los técnicos del tutorial anterior. CONCURSO Tu fábrica hace alternadores para coches, y la producción es parcialmente automatizada por el uso de robots. Los costos operativos diarios son $120 por trabajador y $20 por robot. Con el fin de cumplir con el plazo de producción, la fábrica estima que los números de trabajadores y robots deben satifacer la condición xy = 240,000,  donde  x  es el número de trabajadores e  y  es el número de robots. Suponiendo que la fábrica quiere cumplir con el plazo de producción a un costo diario mínimo  C , ¿cuántos trabajadores y cuántos robots debe utilizar? Paso 1. Las incógnitas son C solo x, y, C x, y y, C x, C ¡Sácame de aquí!   Paso 2. La función objetivo es: C = xy − (120x + 20y) P = 240,000 − xy xy = 240,000 C = 120x + 20y − 240,000 P = xy C = 120x + 20y   Paso 3. La función objetivo es: xy = 240,000,  x ≥ 0,  y ≥ 0 x ≥ 0,  y ≥ 0 xy = 240,000, C = 120x + 20y C = 120x + 20y, x ≥ 0,  y ≥ 0 C = 120x + 20y no hay ningunas restricciones.   Paso 4. El problema de optimización es: Minimizar xy = 240,000 sujeto a C = 120x + 20y,  x ≥ 0,  y ≥ 0 Maximizar C = 120x + 20y sujeto a xy = 240,000,  x ≥ 0,  y ≥ 0 Minimizar C = 240,000 − xy sujeto a 120x + 20y = 0,  x ≥ 0,  y ≥ 0 Minimizar C = 120x + 20y sujeto a xy = 240,000,  x ≥ 0,  y ≥ 0 Maximizar xy = 240,000 sujeto a C = 120x + 20y,  x ≥ 0,  y ≥ 0 Maximizar P = xy sujeto a C = 120x + 20y,  x ≥ 0,  y ≥ 0      Paso 5. Soluciona la ecuación de restricción para y.  y =        Sustituir la expresión para y  en la función objetivo. C(x) =       Paso 6. Vuelve a enunciar el problema de optimización en términos de la una sola variable x  sin ecucaciones de restricción. Maximizar Minimizar    C(x) =    sujeto a  x ≥ 0. x>0.      Paso 7. Soluciona el problema de optimización ontenido en Paso 6. Los valores de  x  e  y  que resultan en el valor óptimo de  C  son x =    trabajadores e  y =   robots

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