4.4 Diferenciación Logarítmica

Derivadas de Potencias, Sumas, y Múltiplos ConstantesRegla de potencias Si f(x) = xn, entonces f'(x) = nxn-1. Esta formula es valido para cualquier constante potencia n. En la notación diferencial, se escribe d dx xn = nxn - 1 La derivada, respecto a x, de xn es igual anxn - 1 Reglas de sumas y múltiplos constantes  Si existen f'(x) y g'(x), y si c es una constante, entonces (A) [f(x)   ±   g(x)]' = f'(x)   ±   g'(x) (B) [cf(x)]' = cf'(x) . En la notación diferencial, estas reglas son:   (A) d dx [f(x) ± g(x)] = d dx [f(x)] ± d dx [g(x)]   (B) d dx [cf(x)] = c d dx [f(x)] En palabras: La derivada de una suma es la suma de las derivadas, y la derivada de una diferencia es la diferencia de las derivadas. La derivada de c por una función es c por la derivada de la función. Inicio de página	Ejemplos d dx x3.2 = 3.2x2.2 d dx 4x - 1 = - 4x - 2 d dx 3x1.1 + 4x - 2 = 3.3x0.1 - 8x - 3 d dx 1 x = d dx x - 1 = - x - 2 = - 1 x2 ¿Quiere praticar? Pruebe el tutorial interactivo o pruebe algunos ejercicios. Inicio de página
Análisis MarginalSi Q(x) se representa cualquier cantidad como costo, ingreso, utilidad, o pérdida por la venta de x artículos, entonces Q'(x) se llama la cantidad marginal.Entonces, por ejemplo, el costo marginal mide la tasa de cambio del costo (el costo aproximado del siguiente artículo). El costo marginal es distinto del costo promedio, que mide el promedio de los x primeros artículos. El costo promedio es dado por C(x) = C(x) x = Costo Total Número de Artículos Inicio de página	EjemplosSi el costo de los primeros x artículos es C(x) = 4x0.2 - 0.1x libras esterlinas. Entonces e costo marginal es C'(x) = 0.8x-0.8 - 0.1 libras esterlinas por artículo. En paricular, C'(3) ≈ 0.23 (libras esterlinas por artículo) es el costo aproximado del tercer artículo (o el cuarto artículo).El costo promedio de los tres primeros artículos es C(3) = C(3) 3 ≈ 4.6829 3 ≈ 1.56 libra esterlina/artículo Inicio de página
Regla del producto d dx [f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) Regla del producto en palabras: La derivada de un producto es la derivada del primero por el segundo, más el primero por la derivada del segundo. Regla del cociente d dx f(x) g(x) = f'(x)g(x) - f(x)g'(x) g(x)2 Regla del cociente en palabras: La derivada de un cociente es la derivada del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador, dividido entre el denominador al cuadrado.	Ejemplos Regla del producto d dx [x2(3x- 1)] = 2x(3x- 1) + x2(3) (Las derivadas de f y g son mostradas en color.) Regla del cociente d dx x3 x2+1 = 3x2(x2+1) - x3.2x (x2+1)2 ¡Por supuesto debería simplificar las respuestas y no las dejar así! Clic aquí para un tutorial en línea sobre las reglas del producto y cociente. Inicio de página
Combinando las reglas: Experimento mental de cálculoEl experimento mental de cálculo (EMC) es una técnica para determinar si se toma una expresión algebraica como un producto, cociente, suma o diferencia. Dada una expresión, se considere los pasos que daría usted en calcular su valor. Si la ultima operación es una multiplicación, tomaría la expresión como un producto; si la ultima operación es una división, tomaría la expresión como un cociente, y así en forma sucesiva. Usando el experimento mental de cálculo para diferenciar una función  Si dice el EMC que la expresión es una suma de expresiones más pequeñas, entonces aplique la regla de sumas. Así le dejará teniendo que diferenciar expresiones más sencillas, y puede usar el EMC para aquellos, y así en forma sucesiva...	Ejemplos 1. (3x2- 4)(2x+1) se puede calcular evaluando primero las expresiones entre paréntesis y multiplicando. Como el ultimo paso es multiplicación, se puede tratar la expresión como un producto. 2. (2x- 1)/x se puede calcular evaluando primero el numerador y el denominador, y por último dividendo el uno por el otro. Como al ultimo paso es división, podemos tratar la expresión como un cociente. 3. x2 + (4x- 1)(x+2) se puede calcular evaluando primero x2, después (4x- 1)(x+2), y por último sumando las dos respuestas. Entonces, podemos tratar la expresión como una suma. 4. (3x2- 1)5 se puede calcular evaluando primero el expresión entre paréntesis, y por último evaluando a la quinta potencia la respuesta. Entonces, podemos tratar la expresión como una potencia. Usando el EMC Déjenos diferenciar x2 + (4x- 1)(x+2). Como ya vimos mas arriba que esta expresión es la suma de x2 y (4x- 1)(x+2), el primero paso es usar la regla para diferenciar una suma (tratada en la resumen anterior): d dx [x2 + (4x- 1)(x+2)] = d dx [x2] + d dx [(4x- 1)(x+2)] Ahora estamos dejados con dos funciones más sencillas para diferenciar: x2, que es una potencia, pues usamos la regla de potencias, y (4x- 1)(x+2), que es un producto, pues usamos la regla del producto: d dx [x2] + d dx [(4x- 1)(x+2)] = 2x + 4(x+2) + (4x- 1)(1) Inicio de página
Regla de la cadenaSi f es una función diferenciable de u y u, a su vez, es una función diferenciable de x, entonces la función compuesta f(u) es una función diferenciable de x, y además d dx [f(u)] = f'(u) du dx Regla de la cadena en palabras:  La derivada de f(cantidad) es la derivada de f, evaluada a aquel cantidad, por la derivada de la cantidad. Por ejemplo, si f(u) = u0.5, entonces d dx [u0.5] = 0.5u- 0.5 du dx La derivada de una cantidad elevada a 0.5 es 0.5 por la cantidad elevada a -0.5, por la derivada de la cantidad. Reglas generalizadas de derivadas  Como se ilustra el ejemplo más abajo, para cada función cuya derivada conocemos, conseguimos una regla "generalizada:" Regla original Regla generalizada (Regla de la cadena) d dx xn = nx n-1 d dx un = nun-1 du dx d dx 4x- 1/2 = -2x- 3/2 d dx 4u- 1/2 =- 2u- 3/2 du dx d dx sin x = cosx d dx sin u = cos u du dx	Ejemplos(Examine primero las reglas generalizadas a la izquierda.) 1. d dx (1+x2)3 = 3(1+x2)2 d dx (1+x2) = 3(1+x2)2,2x = 6x(1+x2)2 2. d dx 2 (x+x2)3 = d dx (x+x2)- 3 = - 3(x+x2)- 4 d dx (x+x2) = - 3(x+x2)- 4 (1+2x) = 1+2x (x+x2)4 3. d dx e(x+x2) = e(x+x2) d dx (x+x2) = e(x+x2)(1+2x) 4. d dx (x- 2/x)- 1 = Use formato correcto para graficadora/computadora Clic aquí para un tutorial en línea sobre la regla de la cadena. Inicio de página
Derivadas de funciones logarítmicas y exponencialesLa tabla siguiente resuma las derivadas de las funciones logarítmicas y exponenciales, y también las derivadas de sus homólogos que se surgen de la regla de la cadena (es decir, las funciones logarítmicas y exponenciales de una función). Regla original Regla generalizada (Regla de la cadena) d dx ln x   = 1 x d dx ln u  = 1 u du dx d dx logax = 1 xln a d dx logau = 1 uln a du dx d dx ex = ex d dx eu = eu du dx d dx ax = axln a d dx au = auln a du dx	Ejemplos 1. d dx 2 ln x = 2. 1 x = 2 x 2. d dx ln(2x) = 1 2x d dx (2x) = 2. 1 2x = 1 x 3. d dx log3(2x+1) = 1 (2x+1)ln 3 d dx (2x+1) = 2. 1 (2x+1)ln 3 = 2 (2x+1)ln 3 4. d dx ex2+1 = ex2+1 d dx (x2+1) = 2x ex2+1 5. d dx 2(x3+x) = Use formato correcto para graficadora/computadora Clic aquí para un tutorial en línea sobre las derivadas de las funciones logarítmicas y exponenciales. Inicio de página
Derivadas de funciones trigonométricasLa tabla siguiente resuma las derivadas de las seis funciones trigonométricas y también las derivadas de sus homólogos que se surgen de la regla de la cadena (es decir, el seno, coseno, etc. de una función). Regla original Regla generalizada (Regla de la cadena) d dx sin x = cosx d dx sin u = cos u du dx d dx cos x = - x d dx cos u = -sin u du dx d dx tan x = sec2 x d dx tan u = sec2u du dx d dx cotan x = -cosec2 x d dx cotan u =- cosec2u du dx d dx sec x = secx tan x d dx sec u = sec u tanu du dx d dx cosec x = - cosec xcotan x d dx cosec u = - cosec ucotan u du dx	Ejemplo 1. d dx x sin x = 1.sin x + x cos x   Regla del producto = sin x + x cos x 2. d dx cos(2x2+1) = sin(2x2+1) d dx (2x2+1) = sin(2x2+1).4x = 4x sin(2x2+1) 3. d dx sec(x3) = sec(x3) tan(x3) d dx (x3) = sec(x3) tan(x3) . 3x2 = 3x2 sec(x3) tan(x3) 5. d dx x cos(x2) = Use formato correcto para graficadora/computadora Clic aquí para texta en línea sobre las derivadas de las funciones trigonometricas. Inicio de página
Funciones implícitas y diferenciación implícitaDado una ecuación en las variables x y y, podremos pensar de y como una función implícita de x. Podremos calcular dy/dx sin despejar primero a y es como se muestra a continuación: Primero, tome la derivada respecto a x de ambos lados de la ecuación (tratando y como "una cantidad" en la regla de la cadena). Después, despeje a dy/dx. Tal vez se da dy/dxcomo función de tanto y como x. Para evaluar dy/dx a un valor específico de x (oy), primero sustituya el valor dado en la ecuación original que muestra la relación entrex y y para obtener un valor para la otra variable si es necesario, y después sustituya los valores de x y y en la expresión de dy/dx. Diferenciación logaritmica  Esta es la técnica sacando primero el logaritmo (natural) de ambos lados, para después aplicar la diferenciación implícita y determinar dy/dx. Diferenciación logaritmica es una alternativa útil para utilizar en vez de las reglas del producto y cociente para determinar las derivadas de expresiones particularmente complicadas.	EjemploPara determinar dy/dx dado que xy+ y3x -ey = 4 Primero, se saca la derivada a respecto a x (es decir, d/dx) de ambos lados: d dx [xy + y3x -ey] = d dx [4] y + x dy dx + 3y2 dy dx x + y3 - ey dy dx = 0 Ahora despejamos a dy/dx por juntar todos los términos con dy/dx a la izquierda y llevar los otros términos a la derecha: x dy dx + 3y2 dy dx x - ey dy dx = -y - y3 Ahora saque a dy/dx como factor común y despeje a lo: dy dx   x + 3xy2 - ey   = -y - y3 dy dx = -y - y3 x + 3xy2 - ey