Matematicas 1: 3.5 Reglas básicas de derivación

Derivada de una función de grado n

Una función de grado n, donde n es un exponente real, se representa por

f(x)=x^{n}

y su derivada es

f'(x)=nx^{n-1}

Algunos tipos de este tipo de funciones son: Función cuadrática, función cúbica, entre otras.

Por ejemplo la función:

f(x)=x^{3}

Lo primero es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, así:

f'(x)=3x^{3-1}

Quedando finalmente:

f'(x)=3x^{2}

Considérese la función

f(x)= x^{1/3}\,

Se tiene:

f\ '(x)= 1/3*x^{-2/3}

Derivada de una constante por una función

Cuando una función esté representada por medio de

f(x)=cx^{n}

, su derivada equivale a

f'(x)=n(cx^{(n-1)})

de la siguiente manera:

Consideremos la siguiente función:

f(x)=8x^{4}

, lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaña, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente:

f'(x)=4(8x^{4-1})

Para obtener

f'(x)=32x^{3}

Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada será el valor de la constante:

f(x)=7x

Entonces su derivada con respecto a esta variable será:

f'(x)=7

Puesto que

x^{0}=1

Derivada de una suma¹

Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cada una.

Es decir,

(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)

\frac{d[f(x)+g(x)]}{dx}=\frac{df}{dx}+\frac{dg}{dx}

Como ejemplo consideremos la función

f(x)=3x^{5}+x^{3}

, para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada término aparte y la suma de ambos será la derivada de la función:

f '(x)=15x^{4}+3x^{2}

Derivada de un producto

Artículo principal: Regla del producto (cálculo)

La derivada se expresa literalmente de la siguiente forma:

"La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar."

Y matemáticamente expresado por la relación

(f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g' \,

. Consideremos la siguiente función como ejemplo:

h(x)=(4x+2)(3x^{7}+2)

Identificamos a

f(x)=(4x+2)

g(x)=(3x^{7}+2)

, utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemos que:

f'(x)=4

y que

g'(x)=21x^{6}

Por lo tanto

h'(x)= 4\cdot(3x^{7}+2)+(4x+2)\cdot(21x^{6})

Simplificando y organizando el producto obtenido nos queda:

h'(x)=84x^{7}+12x^{7}+42x^{6}+8

Sumamos términos semejantes y finalmente obtenemos la derivada:

h'(x)=96x^{7}+42x^{6}+8

Si por ejemplo tenemos la derivada del producto de tres funciones que dependen de la misma variable, podemos pensar el producto de dos de las funciones como si se tratara de una tercera función es decir

(f\cdot g\cdot h)' = (f\cdot p)'

en donde

p = g\cdot h

(sin importar que dos funciones escogemos).

Derivada de un cociente

Artículo principal: Regla del cociente

La derivada de un cociente se determina por la siguiente relación:

\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}

Para aquellos que se puedan confundir por algunas variables de más se puede escribir así:

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}

Es decir:

"La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado".

Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como ejemplo la siguiente función:

h(x)=\frac{3x+1}{2x}

Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el denominador que en este caso es

g(x)=2x

y se multiplique por la derivada del numerador que seria

f'(x)=3

; luego la segunda parte dice que tomemos la función del numerador (

f(x)

) sin derivar y lo multipliquemos por la derivada de

g(x)=2x

, que seria

g'(x)=2

, todo esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado, así:

h'(x)=\frac{(3)(2x)-(3x+1)(2)}{(2x)^{2}}

Ahora todo es cuestión de simplificar:

h'(x)=\frac{6x-6x-2}{4x^{2}}=-\frac{1}{2x^{2}}

Regla de la cadena

Artículo principal: Regla de la cadena

La regla de la cadena es una fórmula para calcular la derivada de lacomposición de dos o más funciones. Esto es, si f y g son dos funciones, entonces la regla de la cadena expresa la derivada de lafunción compuesta f ∘ g en términos de las derivadas de f y g. Por ejemplo , la regla de la cadena de f ∘ g (x) ≡ f [g (x)] es

(f \circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)

o escrito en notación de Leibniz

\frac {df}{dx} = \frac {df}{dg} \, \frac {dg}{dx} \, .

Otras reglas

Funciones inversas y diferenciación

Artículo principal: Derivada de la función inversa

y = f\left(x\right)

entonces

x = f^{-1}\left(y\right)

y si

f\left(x\right)

y su inversa

f^{-1}\left(x\right)

son diferenciables,

entonces

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}

para los casos en que

dx \ne 0

y cuando

dy \ne 0

Derivada de una variable con respecto a otra cuando ambas son funciones de una tercera variable

Sea

x = f\left(t\right)

y = g\left(t\right)

entonces

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}

Diferenciación implícita

f\left(x,y\right) \ne 0

es una función implícita,

se tiene que:

\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}

Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales

\frac{d}{dx}\left(c^{ax}\right) = {c^{ax} \ln c \cdot a } ,\qquad c > 0

Lo anterior es válido para todo c, pero para c < 0 el resultado es un número complejo.

\frac{d}{dx}\left(e^x\right) = e^x

\frac{d}{dx}\left( \log_c x\right) = {1 \over x \ln c} , \qquad c > 0, c \ne 1

Lo anterior es válido para todo c, pero para c < 0 el resultado es un número complejo.

\frac{d}{dx}\left( \ln x\right) = {1 \over x} ,\qquad x > 0

\frac{d}{dx}\left( \ln |x|\right) = {1 \over x}

\frac{d}{dx}\left( x^x \right) = x^x(1+\ln x).

Derivada de funciones trigonométricas

Artículo principal: Derivada de funciones trigonométricas

$(\sin x)' = \cos x \,$	$(\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,$
$(\cos x)' = -\sin x \,$	$(\arccos x)' = -{1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,$
$(\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,$	$(\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,$
$(\sec x)' = \sec x \tan x \,$	$(\operatorname{arcsec} x)' = { 1 \over \|x\|\sqrt{x^2 - 1}} \,$
$(\csc x)' = -\csc x \cot x \,$	$(\operatorname{arccsc} x)' = -{1 \over \|x\|\sqrt{x^2 - 1}} \,$
$(\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)\,$	$(\operatorname{arccot} x)' = -{1 \over 1 + x^2} \,$

Derivada de funciones hiperbólicas

$( \sinh x )'= \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$	$(\operatorname{arsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}$
$(\cosh x )'= \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$	$(\operatorname{arcosh}\,x)' = {\frac {1}{\sqrt{x^2-1}}}$
$(\tanh x )'= {\operatorname{sech}^2\,x}$	$(\operatorname{artanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}$
$(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x$	$(\operatorname{arsech}\,x)' = -{1 \over x\sqrt{1 - x^2}}$
$(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x$	$(\operatorname{arcsch}\,x)' = -{1 \over \|x\|\sqrt{1 + x^2}}$
$(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x$	$(\operatorname{arcoth}\,x)' = -{ 1 \over 1 - x^2}$