1.4 Operaciones con funciones

Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

• Representar la suma, resta y multiplicación de funciones como fórmula, tabla o gráfica.
• Representar la división de funciones como fórmula o tabla .
• Sumar, restar, multiplicar y dividir funciones.

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Introducción

La oficina de personal de una companía cuenta con estas dos funciones:

y

Así, para realizar el pago a los empleados necesitamos una nueva función: h(x)=f(x)×g(x)

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Como sabemos, la tasa de impuestos en artículos diferentes cambia. Por ejemplo, la leche no tiene impuestos. La caja de una tienda se conecta a una computadora que tiene dos funciones:

y

Para indicar al cliente cuánto tiene que pagar por un artículo, creamos una nueva funcion : h(x)=f(x)+g(x)

Dadas dos funciones f y g, en acaciones necesitamos nuevas funciones que consisten de f + g, f - g, f×g ó f/g

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Operaciones de Funciones mediante Fórmulas

Sean dos funciones f y g, la suma, la diferencia, el producto y el cocientepara todos los valores de x comunes a ambos dominios, se definen de la siguiente manera: Suma (f+g)(x)=f(x)+g(x) Diferencia (f-g)(x)=f(x) - g(x) Producto (f×g)(x)=f(x)×g(x) Cociente $\left(\frac{f}{g}\right)$ = f(x)g(x ) , g(x)≠0

Ejemplo

Hallar la suma, la diferencia, el producto y el cociente de las funciones f(x)= x + 2 y g(x)= x - 2.

1. f+g
   
   
   $(f+g)$ (x) = fx + gx = (x+2) + (x-2) = x+2 + x-2 = 2x
2. f-g
   
   
   $($ f - g ) ( x ) = f x - g x = ( x + 2 ) - ( x - 2 ) = x + 2 - x + 2 = 4
3. f×g
   
   
   $($ f × g ) ( x ) = f x × g x = ( x + 2 ) ( x - 2 ) = x 2 - 4
4. $\left(\frac{f}{g}\right)$
   
   $\left(\frac{f}{g}\right)$ = (x+2) (x-2) = x+2 x-2

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Operaciones de Funciones representadas como Tablas

Considere la siguiente tabla de valores que corresponde a las funciones f y g.

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	-2	0	-1	-1	1
g(x)	1	1	0	2	2

Usar los valores de f y g en la tabla anterior para obtener f + g, f - g, f×g y $\frac{f}{g}$ .

La siguiente tabla muestra los resultados de efectuar las operaciones requeridas. Para obtener los valores para un valor de x, simplemente aplicamos la operacion a los valores dados en la tabla de f(x) y g(x).

x	f(x)	g(x)	(f+g)(x)	(f-g)(x)	(f×g)(x)	(f/g)(x)
-2	-2	1	-1	-3	-2	-2
-1	0	1	1	-1	0	0
0	-1	0	-1	-1	0	No definido
1	-1	2	1	-3	-2	-1
2	1	2	3	-1	2	1

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Operaciones de Funciones mediante Gráficas

Es posible realizar operaciones con funciones utilizando sus gráficas. Lo que hacemos es evaluar ambas funciones en los puntos correspondientes y aplicar la operación correspondiente.

Ejemplo

Usar las gráficas de f y g en la siguiente figura para obtener f + g, f - g y f×g.

En la sección anterior encontramos la tabla de valores de estas funciones. Podemos utilizar estos valores para graficar las funciones.

x f(x) g(x) (f+g)(x) -2 -2 1 -1 -1 0 1 1 0 -1 0 -1 1 -1 2 1 2 1 2 3
x f(x) g(x) (f-g)(x) -2 -2 1 -3 -1 0 1 -1 0 -1 0 -1 1 -1 2 -3 2 1 2 -1
x f(x) g(x) (f×g)(x) -2 -2 1 -2 -1 0 1 0 0 -1 0 0 1 -1 2 -2 2 1 2 2

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Dominio y Campo de Valores

Cuando estudiamos funciones aprendimos a obtener el dominio y campo de valores de funciones. Como al combinar funciones obtenemos nuevas funciones, estas también tendrán su dominio y campo de valores . Recordemos que para combinar aritméticamente las funciones, estas deben tener un dominio común.

El dominio de la función que resulta de combinar aritméticamente dos funciones f y g, depende del dominio de f y g, como se muestra en la siguiente tabla: dominio de f+g dominio común a f y g. dominio de f-g dominio común a f y g. dominio def×g dominio común a f y g. dominio de $\frac{f}{g}$ dominio común a f y g, excluyendo los valores donde g(x)=0.

Ejemplo

Dadas las siguientes funciones, f(x)= 2x, g(x)= x - 4, h= $\sqrt{x}$ . Hallar:

1. f+g
   $(f+g)$ (x) = f x + g x = 2 x + ( x - 4 ) = 2 x + x - 4 = 3 x - 4

dominio de f	Todos los número reales
dominio de g	Todos los número reales
dominio de f+g	Todos los número reales




campo de valores def	Todos los número reales
campo de valores deg	Todos los número reales
campo de valores def+g	Todos los número reales



2. f+h
   $(f+$ h ) (x) = f x + h x = 2 x + ( x ) = 2 x + x

dominio de f	Todos los número reales
dominio de h	Los número reales positivos y el cero
dominio de f+h	Los número reales positivos y el cero




campo de valores def	Todos los número reales
campo de valores deh	Los número reales positivos y el cero
campo de valores def+h	Los número reales positivos y el cero



3. $\left(\frac{f}{}\right)$ g
   $\left(\frac{f}{}\right)$ g = (2x) ( x - 4 ) = 2 x x - 4

dominio de f	Todos los número reales
dominio de g	Todos los número reales
dominio de $\frac{f}{}$ g	Todos los número reales excepto x=4

En el tutorial de funciones racionales se cubre con detalle la forma de obtener el campo de valores de este tipo de funciones.

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Utiliza los conocimientos adquiridos sobre operaciones de funciones mediante formulas, operaciones de funciones mediante graficas y operaciones de funciones mediante tablas en los siguientes ejercicios.