2.2 Propiedades de los limites

Propiedades De Los Limites

Propiedades de los límites

Los límites forman una parte fundamental del cálculo en las Matemáticas. De hecho, el primer punto en el concepto del cálculo está marcado por los límites. Los límites pueden ser entendidos fácilmente al observar sus propiedades.

Las Propiedades de los límites implican operaciones que se pueden emplear con el fin de simplificar el límite de una función y convertirlos en una forma mucho más sencilla. Estas propiedades pueden utilizarse con el fin de encontrar los límites de las combinaciones de dos o más funciones o para demostrar si el límite de la función existe o no.

Cuando se trata con la combinación de dos o más funciones, por lo general, los límites de las funciones se calculan individualmente, con la ayuda de estas propiedades, y por último combinando estos con el fin de llegar al resultado final.

Estas propiedades expresan que el resultado será el mismo si el límite es tomado primero y después se realiza el álgebra o realizando el álgebra primero y luego tomando los límites.

 Las propiedades de los límites, también conocidas como “Teoremas  De Límite Central “, se pueden establecer como:

1). El límite de una función siempre es único y es por esta razón que siempre se refiere a estos como “El Límite” y no simplemente límite. Esta propiedad básica se puede demostrar como:

Si  y,  Entonces, L1 = L2

2). El límite de la sumatoria de dos funciones es igual a la suma de los límites de las dos funciones por separado.

3). Del mismo modo, el límite de la resta de dos funciones es igual a la resta de los límites de las dos funciones por separado.

4). El caso similar se puede demostrar con la multiplicación, es decir,

5). Para la división, la regla básica es similar a la de la suma y la resta. Sin embargo, en el caso de la división, , esto es, se debe tener cuidado para que el denominador no se convierta en 0 ya que dará lugar a un “error cero”.

6). Una constante que se multiplica con el límite, se puede tomar fuera del límite sin afectar el resultado. Es decir,

7). El límite de un número fijo o inmutable es un número fijo en sí mismo.

8). El límite global de la proporción (cociente) de dos funciones es la proporción del límite de las dos funciones por separado.

  

9). Límite de la Función Exponencial: De acuerdo a esta propiedad,

10). Límite de una Función Logarítmica: De acuerdo a ella,

11). Teorema de Estricción: Considerando el caso f® g® h® para r acercarse a x .Si

Entonces,

Es decir, la función g® se dice que esta ‘apretada’ entre f ® y g® y que tienen los mismos límites.

Los “Teoremas De Límite Central” también son verdaderos para los límites izquierdos así como para los límites derechos.

La aplicación de las propiedades de los Límites se puede ver en el siguiente ejemplo:

Suponga que el límite de la ecuación  será encontrado:

Usando la propiedad del cociente, los límites se pueden aplicar al numerador y al denominador por separado, es decir,

De acuerdo a la 5ta propiedad, la constante se puede tomar fuera del alcance del límite

Luego aplicando la propiedad de la sumatoria y separando los límites en dos límites individuales en el denominador, obtenemos

Por último, aplicando el valor de los límites de la ecuación correspondiente

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